L'indice de développement humain (IDH)

« L’indice de développement humain (IDH) vise à évaluer le niveau de développement des pays en se fondant non pas sur des données strictement économiques, mais sur la qualité de vie de leurs ressortissants. Créé en 1990, cet indicateur est préféré au revenu par habitant qui apparaît trop réducteur pour évaluer le niveau de développement. »
Source : https://www.vie-publique.fr/fiches/274930-quest-ce-que-lindice-de-developpement-humain-idh-et-autres-indices

Le calcul de l'IDH d'un pays se base sur la combinaison de trois indices :

• l'indice de longévité `L`, calculé à partir de l'espérance de vie de la population ;
  
• le niveau d'éducation `E`, calculé à partir de la durée moyenne de scolarisation ;
  
• le niveau de vie `V`, calculé à partir du revenu par habitant.
  

Chacun des trois indices prend une valeur comprise entre `0` et `1`. Les trois indices sont, ensuite, combinés pour obtenir l'IDH qui est lui-même un nombre compris entre `0` et `1`.
Le tableau suivant donne les valeurs des indices \(L,E,V\) ajustés aux inégalités (qui tiennent donc compte des inégalités sociales constatées dans le pays concerné) pour les trois pays suivants : France, Inde et Mexique, en \(2022\).

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Pays} &L&E&V\\ \hline \text{France} & 0{,}937 & 0{,}769 & 0{,}764\\ \hline\text{Inde} &0{,}607 & 0{,}359& 0{,}401\\ \hline\text{Mexique} & 0{,}766 &0{,}604 & 0{,}568\\ \hline \end{array}\end{align*}\)
Source : https://hdr.undp.org/system/files/documents/hdr2023-24reportfr.pdf

Partie A : calcul de l'IDH

Avant \(2011\), le calcul de l'IDH consistait en la moyenne arithmétique des trois indices, c'est-à-dire \(\text{IDH}=\dfrac{L+E+V}3\).
1. Calculer les \(\text{IDH}\), ajustés aux inégalités, des trois pays à l'aide de la moyenne arithmétique des trois indices.

Depuis 2011, le calcul de l' IDH consiste en la moyenne géométrique des trois indices, c'est-à-dire \(\text{IDH}=(L\times E\times V)^{\frac{1}3}\).

2. Calculer les IDH, ajustés aux inégalités, des trois pays à l'aide de la moyenne géométrique des trois indices.

3. Compléter le tableau suivant en y ajoutant les IDH calculés suivant les deux méthodes précédentes (arrondir au dixième).

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Pays} &L&E&V&\text{IDH}_{\text{arithmétique}}&\text{IDH}_{\text{géométrique}}\\ \hline \text{France} & 0{,}937 & 0{,}769 & 0{,}764\\ \hline\text{Inde} &0{,}607 & 0{,}359& 0{,}401\\ \hline\text{Mexique} & 0{,}766 &0{,}604 & 0{,}568\\ \hline \end{array}\end{align*}\)

4. Conjecture
Pour chaque pays, comparer les deux IDH calculés. Quelle conjecture peut-on émettre concernant les valeurs des moyennes arithmétiques et géométriques de trois nombres ?

5. Le cas de l'Afrique du Sud
Les indices de l'Afrique du Sud sont \(L=0{,}514\) ; \(E=0{,}648\) et \(V=0{,}295\).
Calculer l'IDH de l'Afrique du Sud en utilisant la moyenne arithmétique, puis la moyenne géométrique. Comparer les deux valeurs.
Pourquoi le Programme des Nations unies pour le développement a-t-il décidé d'utiliser la moyenne géométrique plutôt que la moyenne arithmétique pour calculer l'IDH des pays du monde ?

Partie B : démonstration

Dans la partie A, on a conjecturé que la moyenne arithmétique de trois nombres positifs est toujours supérieure à leur moyenne géométrique. Dans cette partie, on prouvera ce résultat dans le cas de deux nombres positifs.

Considérons deux nombres positifs \(a\) et \(b\).

1. Écrire leur moyenne arithmétique \(M_{a,b}\).
2. Écrire leur moyenne géométrique \(m_{a,b}\).
3. Développer \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\).
4. Montrer que \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=2(M_{a,b}-m_{a,b})\).
5. Conclure.
6. Dans quel cas la moyenne arithmétique de deux nombres est-elle égale à leur moyenne géométrique ?